Elisabeth Leonskaja wurde 1945 im georgischen Tiflis als Tochter russischer, aus Odessa stammender Eltern geboren. Mit sieben erhielt sie regelmäßigen Klavierunterricht, gab mit elf ihr öffentliches Debüt und wurde mit vierzehn am Musik-Gymnasium ihrer Heimatstadt aufgenommen. Nach dem Gewinn des Internationalen Enescu-Klavierwettbewerbs in Bukarest 1964 wechselte sie an das Moskauer Tschaikowsky-Konservatorium in die Klasse von Jacob Milstein. Bald darauf nahm sie erfolgreich am Marguerite-Long-Wettbewerb in Paris und am Königin-Elisabeth-Wettbewerb in Brüssel teil.

Über ihren späteren Ehemann, den Geiger Oleg Kagan, kam Elisabeth Leonskaja in Kontakt mit Swjatoslaw Richter, der ihre weitere musikalische Entwicklung maßgeblich beeinflusste und ihr bis zu seinem Tod in Freundschaft verbunden blieb.

1978 reiste Elisabeth Leonskaja aus der Sowjetunion aus und ließ sich in Wien nieder. Ihr sensationeller Auftritt bei den Salzburger Festspielen 1979 markierte den Beginn einer großen Karriere im Westen.

Neben der solistischen Tätigkeit ist Kammermusik immer ein wichtiger Bestandteil ihrer Arbeit geblieben – so zählten bisher beispielsweise das Belcea, Borodin, Artemis oder Jerusalem Quartett und vor allem das Alban Berg Quartett zu ihren Partnern.

Elisabeth Leonskaja hat zahlreiche Schallplattenpreise erhalten. Ihre umfangreiche Diskographie nennt unter anderem die Klavierkonzerte von Tschaikowsky, Chopin, Schostakowitsch und Brahms, alle Klaviersonaten von Schubert, Brahms und Mozart sowie die letzten drei Sonaten von Beethoven. Sie wurde mit dem Österreichischen Ehrenkreuz für Wissenschaft und Kunst, der georgischen Auszeichnung „Priesterin der Kunst“ und dem Lifetime Achievement Award 2020 geehrt. Seit 1999 ist Elisabeth Leonskaja regelmäßig mit dem Konzerthausorchester (ehemals Berliner Sinfonie-Orchester) aufgetreten und war zudem mit Soloabenden im Konzerthaus zu Gast.