Geboren im georgischen Tiflis in eine russischen Familie, gab Elisabeth Leonskaja bereits mit 11 Jahren erste Konzerte. Ihre außergewöhnliche Begabung führte sie bald ans Moskauer Konservatorium. Noch als Studentin gewann sie Preise bei den renommierten internationalen Klavierwettbewerben Enescu, Marguerite Long und Queen Elizabeth. Ihre musikalische Entwicklung wurde entscheidend von der Zusammenarbeit mit Sviatoslav Richter geprägt.

1978 verließ die Künstlerin die Sowjetunion und fand in Wien eine neue Heimat. Ihr aufsehenerregender Auftritt bei den Salzburger Festspielen im Jahr 1979 markierte den Beginn ihrer Karriere als Konzertpianistin im Westen.

Neben zahlreichen solistischen Engagements bleibt Kammermusik ein wichtiger Teil ihrer Arbeit. Sie konzertierte mehrfach mit Streichquartetten wie dem Belcea-, Borodin-Artemis- und Jerusalem-Quartett, auch mit dem Alban-Berg-Quartett verband sie eine langjährige musikalische Freundschaft.

Viele  Aufnahmen zeugen von den herausragenden künstlerischen Leistungen der Pianistin, die beispielsweise mit dem Caecilia-Preis für ihre Brahms-Klaviersonaten oder dem Diapason d'Or für ihre Einspielungen von Werken Liszts ausgezeichnet wurde. Weitere wichtige Aufnahmen sind die Tschaikowsky-Klavierkonzerte mit dem New York Philharmonic Orchestra unter Kurt Masur, die Chopin-Klavierkonzerte mit der Tschechischen Philharmonie unter Vladimir Ashkenazy und die Schostakowitsch-Klavierkonzerte mit dem Saint Paul Chamber Orchestra.

In ihrer zweiten Heimat Österreich ist Elisabeth Leonskaja Ehrenmitglied des Wiener Konzerthauses. 2006 wurde sie für ihre herausragenden Verdienste um die Kultur des Landes mit dem Österreichischen Ehrenkreuz für Wissenschaft und Kunst Erster Klasse ausgezeichnet. In Georgien ernannte man sie 2016 zur Priesterin der Kunst. 2020 erhielt sie den International Classical Music (ICMA) Lifetime Achievement Award.